Bir kar topunu tepeye yuvarlamayı hayal edin. Küçük bir top olarak başlar, yuvarlandıkça daha fazla kar toplar ve hızla kocaman bir çığ haline gelir. İşte bu, exponential growth‘un mükemmel bir günlük hayat örneğidir; bir şeyin giderek daha hızlı büyümesi. IB Mathematics AA ve AI müfredatında, fonksiyonlar ve modelleme konularında temel bir kavramdır çünkü gerçek dünyayı matematikle açıklamamıza yardımcı olur.
Bu makalede üstel büyümenin temelini öğreneceksiniz, formülü basitçe göreceksiniz, gerçek hayattan örnekler inceleyeceksiniz ve IB sınavlarında nasıl çözeceğinizi anlayacaksınız. Finansal büyüme, nüfus artışı veya hastalık yayılımı gibi konuları ele alacağız. Sonra IB Mathematics için pratik ipuçları vereceğiz. Hazır mısınız, başlayalım.
Üstel büyüme, bir miktarın her seferinde önceki miktara belirli bir oran eklenerek artması demektir. Yani başlangıçta yavaş görünür ama zamanla hızlanır. Ana formül şu şekildedir: ( A = P(1 + r)^n ) veya ( N = a \cdot b^t ). Burada ( P ) başlangıç miktarı, ( r ) büyüme oranı, ( n ) dönem sayısı, ( a ) başlangıç değeri, ( b ) büyüme faktörü ve ( t ) zamandır.
Örneğin compound interest ile düşünün. 100 dolar yatırdınız, yıllık yüzde 5 faiz alıyorsunuz. Bir yıl sonra 105 dolar olur. İkinci yılda faiz 105 dolara uygulanır, yani 110.25 dolar elde edersiniz. Sürekli büyüme için ( y = y_0 e^{kt} ) formülünü kullanırız; burada ( e ) doğal sayı tabanıdır ve grafik J şeklinde hızla yukarı çıkar. Gerçek hayatta kısa vadede mükemmel çalışır ama kaynaklar sınırlıysa durur.
West Texas A&M Üniversitesi’nin bu tutorial’ında exponential growth ve decay detaylarını görebilirsiniz.
100 dolar başlangıç paranız var, yıllık yüzde 5 faizle bileşik faiz uygulanıyor. İşte 3 yıl için tablo:
| Yıl | Başlangıç | Faiz (%) | Toplam |
|---|---|---|---|
| 0 | 100 | – | 100 |
| 1 | 100 | 5 | 105 |
| 2 | 105 | 5.25 | 110.25 |
| 3 | 110.25 | 5.5125 | 115.76 |
Her adımda önceki toplamın yüzde 5’ini ekleyin. Birinci yıl: ( 100 \times 1.05 = 105 ). İkinci yıl: ( 105 \times 1.05 = 110.25 ). Grafik hesap makinesiyle hızlıca hesaplayın, IB öğrenciler için pratik yapın. Kendi hesap makinenizi alın ve deneyin.
Üstel büyüme her yerde karşımıza çıkar ve IB Mathematics’te modelleme için idealdir. Finans, nüfus ve hastalık gibi alanlarda formülleri uygularız. Kaynaklar sınırlıysa modeller kısa vadeli kalır, yoksa logistic growth’a geçeriz.
Aşağıdaki tablo örnekleri özetler:
| Uygulama | Örnek | IB Bağlantısı |
|---|---|---|
| Finans | Compound interest | Fonksiyon modelleme |
| Nüfus | Bakteri ikiye katlanması | Büyüme oranı hesaplama |
| Hastalık | Virüs yayılımı | Kısa vadeli tahmin |
Bu örnekler sizi “aha” dedirtecek.
Tasarruf hesabında 1000 dolar yatırdınız, yıllık yüzde 7 faizle. 10 yılda ( 1000 \times (1.07)^{10} \approx 1967 ) dolar olur. Veya araba değeri için decay: 17500 dolarlık araba yüzde 18 yıllık azalmayla ( b = 0.82 ). 3 yıl sonra ( 17500 \times (0.82)^3 \approx 9650 ) dolar eder. Gelecek değeri bulmak IB exam’larında sık sorulur.
Bakteri her 20 dakikada ikiye katlanır. Başlangıçta 10 bakteri varsa, 1 saatte ( 10 \times 2^3 = 80 ) olur. Şehir nüfusu 20 yılda iki katına çıkıyorsa, doubling time 20 yıldır. Formül ( N = N_0 \cdot 2^{t/d} ), burada ( d ) doubling time’dır.
COVID’un erken döneminde her 3 günde vaka ikiye katlandı. ( n(t) = 4.5 \times 2^{t/3} ) ile 6 günde ( 4.5 \times 2^2 = 18 ) vaka olur. Kısa vadeli tahminler hayat kurtarır ama uzun vadede sınırlar devreye girer.
IB AA ve AI’de exponential growth, functions ve modeling’de yer alır. Doubling time hesaplayın, verilere model uydurun, grafik hesap makinesi kullanın. Büyüme için ( b > 1 ), decay için ( 0 < b < 1 ). Internal Assessment’ta gerçek veriyle modelleyin, exam’da denklemleri çözün.
Örneğin zamanı bulmak: ( t = \frac{\ln(A/P)}{\ln(1+r)} ). Kansas State Üniversitesi’nin advanced high-school math notlarında IB Further Mathematics’e benzer içerikler var.
Grafik hesap makinelerinde regression yapın. Pratik sorun: 500 bakteri 2 saatte 4000 olursa doubling time nedir? Deneyin.
Doubling time formülü ( t = \frac{\ln 2}{k} ), sürekli büyümede. Veri fitting için 3 nokta alın, ( \ln N ) vs ( t ) grafiği çizilin, eğim ( k )’yı bulun. IB AI’de spreadsheet’le yapın, AA’da analitik çözün.
Üstel büyüme formülü ( A = P(1+r)^n ), gerçek hayat örnekleri gibi compound interest, bakteri ve virüs yayılımı, IB Mathematics AA/AI’de modelleme becerinizi geliştirir. Doubling time ve grafik hesap makinesiyle pratik yapın, Internal Assessment veya exam’larda fark yaratın.
Şimdi kendi örneğinizi hesaplayın: 200 doları yüzde 4 faizle 5 yılda ne olur? IB Matematik üstel büyüme pratik yaparak ustalaşın. Başarılar, yorumlarda paylaşın!
Bir ormanın kesilmesine “evet” ya da “hayır” demek kolay görünebilir, ama IB Environmental Systems and Societies (ESS) içinde önemli olan kararın kendisi değil, neden o
Bir nehri kirleten fabrikanın bacası sadece duman mı çıkarır, yoksa görünmeyen bir fatura da mı üretir? IB ESS’de environmental economics, tam olarak bu görünmeyen faturayı
Bir nehre atılan atık, bir gecede balıkları öldürebilir, ama o atığın durması çoğu zaman aylar, hatta yıllar alır. Çünkü çevre sorunları sadece “bilim” sorusu değil,
Şehirde yürürken burnuna egzoz kokusu geliyor, ufuk çizgisi gri bir perdeyle kapanıyor, bazen de gözlerin yanıyor; bunların hepsi urban air pollution dediğimiz konunun günlük hayattaki
Şehir dediğimiz yer, sadece binalar ve yollardan ibaret değil, büyük bir canlı organizma gibi sürekli besleniyor, büyüyor, ısınıyor, kirleniyor, bazen de kendini onarmaya çalışıyor. IB
IB ESS Topic 8.1 Human populations, insan nüfusunun nasıl değiştiğini, bu değişimin nedenlerini ve çevre üzerindeki etkilerini net bir sistem mantığıyla açıklar. Nüfusu bir “depo”
Bir gün marketten eve dönüyorsun, mutfak tezgahına koyduğun paketli ürünlerin çoğu, aslında üründen çok ambalaj gibi görünüyor. Üstüne bir de dolabın arkasında unutulan yoğurt, birkaç
Evde ışığı açtığında, kışın kombiyi çalıştırdığında ya da otobüse bindiğinde aslında aynı soruyla karşılaşıyorsun, bu enerjiyi hangi kaynaktan üretiyoruz ve bunun bedelini kim ödüyor? IB
Bir musluğu açtığında akan su, markette aldığın ekmek, kışın ısınmak için yaktığın yakıt, hatta telefonunun içindeki metal parçalar; hepsi natural resources (doğal kaynaklar) denen büyük
Gökyüzüne baktığında tek bir “hava” var gibi görünür, ama aslında atmosfer kat kat bir yapı gibidir ve her katın görevi farklıdır. IB Environmental Systems and