Ofis sandalyesine oturup kendini çevirdiğini hayal et, elinde iki dambıl var, önce kolların açık, sonra dambılları göğsüne doğru çekiyorsun ve bir anda sandalyenin daha hızlı döndüğünü hissediyorsun. Aynı kişi, aynı sandalye, aynı toplam kütle, ama dönme hızı belirgin biçimde değişiyor. O zaman akla hemen şu soru geliyor: kütle dağılımı dönmeyi nasıl bu kadar güçlü etkileyebiliyor?
Bu sorunun kalbinde üç ana kavram var: moment of inertia, rotational motion ve angular momentum conservation. IB Physics için bu kavramları net anlamak, sadece Paper 1 ve Paper 2 sorularını çözmek için değil, aynı zamanda yaratıcı Internal Assessment ve Extended Essay fikirleri bulmak için de büyük bir avantaj sağlar.
Yazı boyunca teknik terimleri İngilizce kullanacağım; moment of inertia, torque, angular velocity, angular acceleration, rotational kinetic energy, angular momentum, angular momentum conservation gibi kelimeleri sık sık göreceksin. Aynı şekilde IB terimleri de İngilizce geçecek; Internal Assessment, Extended Essay, Grade Boundary gibi.
Ama panik yok, hedef karmaşık matematik yapmak değil, günlük hayattan örneklerle “why does mass distribution affect rotation?” sorusuna sezgisel ve sınavda işe yarar bir cevap kurmak.
IB Physics’te rotational motion konusunu anlamak için önce linear motion ile paraleli görmek işini çok kolaylaştırır. Lineer harekette nasıl displacement, velocity, acceleration ve force varsa, dönme hareketinde de bunların açısal karşılıkları bulunur.
Lineer harekette yer değiştirme için displacement kullanılır, dönme hareketinde ise açı kullanılır ve buna angular displacement denir. Düz yolda giden bir araba için hız, velocity ile ifade edilir, dönen bir cisim için ise angular velocity (genelde ω ile gösterilir) devreye girer. Aynı şekilde hızın zamana göre değişimi acceleration, açısal hızın zamana göre değişimi de angular acceleration (α) olarak adlandırılır.
Kuvvetin dönme karşılığı ise torque ya da daha gündelik adıyla “döndürücü etki”dir. Kapıyı tam menteşelerin dibinden itince niye zor, kapı kolundan itince niye kolay olduğunu düşündüğünde torque kavramını sezgisel olarak anlamaya başlarsın. Matematiksel olarak torque şöyle yazılır:
τ = r F sinθ
Burada r, axis of rotation ile kuvvetin uygulandığı nokta arasındaki uzaklıktır, F kuvvetin büyüklüğüdür, θ ise kuvvet vektörü ile r arasındaki açıdır. Kapıyı kolundan ittiğinde r büyük olduğu için, aynı F ile daha büyük τ üretirsin, kapı daha rahat açılır.
Angular velocity, angular acceleration ve torque, IB Physics syllabus’ında rotational dynamics bölümünün temel taşlarıdır. Bu konuları biraz daha derin görmek istersen, Hawaii University’nin hazırladığı rotational inertia bölümüne göz atabilirsin: Dynamics of Rotational Motion: Rotational Inertia.
Linear motion’da mass (m) neyse, rotational motion’da moment of inertia (I) ona benzer bir rol oynar. Kısaca, bir cismi belirli bir axis of rotation etrafında döndürmeye çalışırken hissettiğin “dönmeye üşengeçlik” miktarı moment of inertia olarak düşünülebilir.
Temel formül şu şekildedir:
I = Σ mᵢ rᵢ²
Yani, her küçük kütle parçasını (mᵢ) alır, axis of rotation’a olan uzaklığının (rᵢ) karesini alır ve hepsini toplarsın. Sürekli kütle dağılımı için bu ifade integral formuna geçer:
I = ∫ r² dm
Burada kritik nokta şudur: I sadece toplam kütleye bağlı değildir, kütlenin axis of rotation etrafında nasıl dağıldığına da bağlıdır. Aynı toplam kütleye sahip iki cisim, kütleleri farklı şekilde dağılmışsa, moment of inertia değerleri ve dolayısıyla dönme tepkileri de farklı olur.
Bu yüzden “mass” sorulduğunda aklına doğrusal hareket, “moment of inertia” sorulduğunda ise dönme hareketi gelmelidir.
Moment of inertia hakkında görsel şemalar görmek için Georgia State University’nin HyperPhysics sayfası oldukça yararlıdır: Moment of Inertia kavramları.
Aynı cisim için bile axis of rotation değiştiğinde I değeri değişir. Uzun bir kapıyı düşün; kapıyı menteşelerinden döndürmek kolaydır, ama aynı kapıyı ortasından bir eksen geçirip oradan döndürmek çok daha zor olur. Neden? Çünkü kütlelerin büyük kısmı yeni axis’e daha uzaktadır ve r² ifadesi nedeniyle I büyür.
Bu fikir parallel axis theorem ile matematiksel olarak ifade edilir. Ayrıntılı formüle girmeye gerek yok, ama kabaca “center of mass etrafındaki moment of inertia biliniyorsa, ekseni paralel kaydırdığında I artar” diyebiliriz. University of Illinois’in hazırladığı notlarda bu bağlantıyı iyi bir anlatımla bulabilirsin: Parallel Axis Theorem ve Torque.
Bu noktaya kadar olan kısım, kütle dağılımının neden otomatik olarak dönme davranışını etkilediğini anlamak için altyapıyı kuruyor.
Artık formülleri gördük, şimdi bu formüllerin hayatın içinde nasıl karşılık bulduğuna bakalım. IB Physics sınavında bu tür sorular genelde “Explain why…” diye başlar ve tam da bu sezgisel bağlantıyı test eder.
Formüle tekrar bakalım:
I = Σ m r²
Buradaki r² kısmı oyunun kurallarını belirler. r iki katına çıkınca r² dört katına çıkar, yani aynı kütleyi axis of rotation’dan iki kat uzağa taşıdığında moment of inertia katkısı dört kat büyür.
Basit bir sayısal örnekle düşünelim. Axis’e 0,5 m uzaklıkta 2 kg’lık bir kütle olsun:
I₁ = 2 × (0,5)² = 2 × 0,25 = 0,5 kg m²
Şimdi 1 kg’lık bir kütleyi 1,5 m uzaklığa koyalım:
I₂ = 1 × (1,5)² = 1 × 2,25 = 2,25 kg m²
Burada toplam kütle daha küçük olmasına rağmen (1 kg), axis’e daha uzak olduğu için I katkısı daha büyük çıktı. Buradan şu cümleyi rahatlıkla kurabilirsin: small mass far away can matter more than large mass close to the axis.
IB sorularında bu fikri açıklarken mutlaka r² faktöründen bahsetmek, “mass farther from axis” ifadesini kullanmak ve “greater moment of inertia” cümlesini eklemek iyi puan getirir.
Klasik bir karşılaştırma sorusu: Aynı mass ve radius’a sahip bir hoop (tüm kütlesi çemberin kenarında) ile bir solid disk (kütlesi yarıçap boyunca yayılmış) rampadan aşağı yuvarlanıyor, hangisi önce aşağı ulaşır?
Kısa cevap: Solid disk daha önce ulaşır, çünkü moment of inertia’sı daha küçüktür. Hoop’ta kütlenin tamamı maksimum r’da bulunduğu için I daha büyüktür. Enerji bakış açısından ise potansiyel enerji hem translational kinetic energy’ye hem de rotational kinetic energy’ye (E_rot = 1/2 I ω²) dönüşür; I büyük olduğunda daha fazla enerji dönmeye gider, lineer hız daha küçük kalır.
Bunu küçük bir tablo ile özetleyelim:
| Sistem | Kütle dağılımı | I değeri (nitel) | Rampadaki davranış |
|---|---|---|---|
| Hoop | Kütle mostly at the edge | Daha büyük | Daha yavaş hızlanır |
| Solid disk | Kütle spread throughout | Daha küçük | Daha hızlı hızlanır, önde |
Bu yarışın detaylı analizini Boston University’nin sayfasında görebilirsin; enerji ve moment of inertia bağlantısını çok açık bir dille anlatıyorlar: A Race: Rolling Down a Ramp.
IB Physics sınavında “Explain why the hoop reaches the bottom later than the solid cylinder” tarzı bir soruda, açıklamana şu kelimeleri yerleştirmen çok işe yarar: mass farther from axis, greater moment of inertia, more energy in rotational kinetic energy, smaller translational speed.
Buz patencisi örneği, angular momentum conservation kavramını anlatmak için neredeyse standart hale gelmiş durumda. Angular momentum genelde L ile gösterilir ve şu şekilde yazılır:
L = I ω
Eğer dışarıdan net torque yoksa, L sabit kalır. Yani I azalırsa ω artmak zorundadır, I artarsa ω azalır. Buz patencisi kollarını içeri aldığında kütlesini axis’e yaklaştırmış olur, moment of inertia düşer, bu yüzden angular velocity artar ve daha hızlı döner. Kolları tekrar açtığında I artar, ω düşer ve dönme yavaşlar.
Aynı şeyi ofis sandalyesinde elinde dambıllarla yapabilirsin; kollarını içeri çekince bir anda hızlanırsın. Burada enerjiyi ve momentumu karıştırmamak önemli; angular momentum korunurken, insan kasları çalıştığı için toplam mekanik enerji değişebilir.
Angular momentum hakkında daha kapsamlı ama yine de anlaşılır bir anlatım için Michigan State University’nin açık ders kitabına bakabilirsin: Angular Momentum and Its Conservation.
Tenis raketi kullanıyorsan, “head heavy” ya da “handle heavy” ifadelerini mutlaka duymuşsundur. Head heavy bir rakette kütlenin daha büyük kısmı başta toplandığı için moment of inertia daha büyüktür; raketi hızlandırmak biraz daha zor gelir, ama topa çarptığında güçlü bir hissiyat verebilir. Handle heavy rakette ise kütle daha çok kola yakındır, I daha küçük olur, raketi daha hızlı sallamak kolaylaşır.
Benzer şekilde beyzbol sopası ya da golf sopasında da mass distribution, oyuncunun “swing” hissini belirler. Aynı toplam kütlede iki sopadan, kütlesi ucuna daha çok toplanmış olanın moment of inertia’sı daha büyüktür ve hızlandırılması daha zordur.
IB Physics öğrencisi olarak buradan güzel bir Internal Assessment sorusu çıkarabilirsin. Örneğin, “How does changing the mass distribution of a tennis racket affect its swing speed?” gibi bir soru, hem teorik açıklamaya hem de ölçülebilir bir deney kurmaya açık olur.
Şimdi konuyu doğrudan IB Physics bağlamına çekelim. Syllabus’a baktığında rotational motion ve energy kısmında birkaç temel formül görürsün; asıl mesele, bu formüllerin hepsinde mass distribution’ın I üzerinden oyuna dahil olduğunu fark etmektir. IB resmi kılavuzuna göz atmak istersen, CUNY üzerinden ulaşılabilen şu PDF’i kullanabilirsin: IB Physics guide.
IB Physics seviyesinde bilmen gereken temel denklemler şunlardır:
Sınavda, “state” tipi sorularda bu formülleri doğru yazmak, “explain” tipi sorularda ise I’nin mass distribution’a bağlı olduğunu sözel olarak vurgulamak puan kazandırır.
Rotational motion ile ilgili IB sorularının çoğu karşılaştırma üstüne kurulur. Örneğin:
Bu tip sorularda tam cümle kurmak çok önemli. Sadece “I bigger” yazmak genelde düşük puan getirir. Onun yerine şu yapıyı kullanabilirsin:
Markscheme’lerde sık geçen kelimeleri cevaplarına bilerek eklemek, Grade Boundary açısından ciddi fark yaratabilir.
Kütle dağılımı ve moment of inertia, hem basit malzemelerle incelenebilen hem de teorik olarak açıklanabilen bir konu olduğu için IA ve Extended Essay açısından çok elverişli bir alan sunar.
Bazı pratik fikirler:
Bu tarz deneyler için üniversite lab kılavuzlarını incelemek de iyi bir başlangıç olur; örneğin Michigan State University’nin Rotational Motion: Moment of Inertia adlı lab dökümanı işe yarar fikirler içeriyor: Rotational Motion: Moment of Inertia Lab.
Güvenlik açısından, rampa deneylerinde ağır cisimlerin ayağa çarpmamasına, dönen sandalye deneylerinde çevrede sert cisim bulunmamasına dikkat etmek gerekir.
Artık parçaları tek tek gördük; şimdi resmi bir bütün halinde toparlayalım. Bir cisim dönerken, onun dönmeye ne kadar direnç göstereceğini moment of inertia belirler ve moment of inertia doğrudan mass distribution’a bağlıdır.
Angular momentum için L = I ω yazdığımızda, mass distribution’ın etkisi net bir şekilde ortaya çıkar. Kütleyi axis of rotation’dan uzağa taşıdığında I artar, bu da aynı torque altında daha küçük angular acceleration anlamına gelir, yani dönmeyi başlatmak ya da durdurmak daha zor hale gelir. Dışarıdan net torque yoksa ve L korunuyorsa, I büyürse ω küçülmek zorundadır, I küçülürse ω büyür.
Rotational kinetic energy ifadesi E_rot = 1/2 I ω² olduğunda da benzer bir resim görürsün. Aynı açısal hız için, yüksek I daha fazla enerji gerektirir, bu nedenle rampadan yuvarlanan hoop, aynı mass ve radius’a sahip solid diskten daha yavaş hızlanır.
Bu ilişkiler hem teorik hesaplarda hem de basit deneylerde çok net gözlenebilir; bu da IB Physics öğrencisine hem soru çözmede hem de IA tasarlamada özgüven kazandırır.
Konuya ne kadar hakim olduğunu kontrol etmek için şu üç soruyu kendi kendine cevaplamayı dene:
Bu sorulara kendi cümlelerinle, hem teknik terimleri hem de sezgisel açıklamayı içeren kısa paragraflar yazabiliyorsan, “why does mass distribution affect rotation?” sorusunu gerçekten anlamışsın demektir.
Kısaca toparlarsak, bir cismin dönme davranışını anlamak için üçlü bir zinciri akılda tutmak yeterlidir: mass distribution, moment of inertia ve angular momentum. Kütle axis of rotation’dan ne kadar uzakta toplanırsa, moment of inertia o kadar büyür, dönmeyi başlatmak ve durdurmak zorlaşır, angular momentum conservation altında ise angular velocity buna göre ayarlanır. Hoop ile solid disk arasında neden hız farkı olduğunu, buz patencisinin neden kollarını toplayınca hızlandığını ya da raketinin neden “head heavy” olduğunda farklı hissettirdiğini bu çerçeve ile açıklayabilirsin.
Bu konuyu sadece formülleri ezberleyerek değil, kendi deneylerini hayal ederek ve belki küçük IA denemeleri yaparak çalışmak, hem kavrayışını derinleştirir hem de seni Internal Assessment veya Extended Essay için hazırlar. Mass distribution fikrini gerçekten içselleştiren bir IB Physics öğrencisi, rotational motion ile ilgili neredeyse her soruya, ister hesaplama ister açıklama olsun, çok daha sakin ve kendinden emin bir şekilde yaklaşabilir.
Mide asidi, havuz suyu, cilt toniklerinin üstündeki “pH 5.5” yazıları… Günlük hayatta “pH” kelimesini her yerde görüyorsun, ama çoğu zaman arka plandaki mantığı kimse açıklamıyor.
Bir elementin doğada hangi izotoplardan oluştuğunu ve bu izotopların yüzde oranlarını nasıl görebiliriz? İşte tam burada mass spectrometry devreye giriyor ve IB Chemistry öğrencileri için
IB Diploma Programme organik kimya konularına geldiğinde, öğrencilere hep aynı fikir tekrar tekrar hatırlatılır: aynı molecular formula, farklı yapı. İşte bu basit görünen fikir, yani
Bir atomun bağ elektronlarını ne kadar kendine çekmek istediğini anlatan kavrama electronegativity diyoruz. Kısaca, paylaşılan elektron çiftini daha çok isteyen atom daha yüksek electronegativity değerine
Alken mekanizması çizimlerinde sürekli karşına oklar, pozitif yükler ve HX gibi formüller çıkıyor, değil mi? Eğer electrophilic addition kafanı karıştırıyorsa, yalnız değilsin. IB Chemistry öğrencilerinin
“IB Economics SL mi yoksa HL mi seçmeliyim?” sorusu aklını kurcalıyorsa, yalnız değilsin. IB Diploma Programme içindeki en stratejik kararlardan biri bu ve verdiğin karar,
Sınav salonundasın, Paper 2 kitapçığını açtın ve karşına dikey çizgilerden oluşan garip bir grafik çıktı: x-axis üzerinde m/z, y-axis üzerinde intensity yazıyor ve soru diyor
Faz diyagramları ve critical point kavramı sana da ilk bakışta korkutucu görünüyor mu? Grafikler, eğriler, özel noktalar, yanında da İngilizce terimler gelince konu bir anda
IB Chemistry çözerken “strong acid” mi “weak acid” mi sorusu geldiğinde kafan karışıyorsa kesinlikle yalnız değilsin. Birçok öğrenci, hatta bazen öğretmenler bile, asit gücü (acid
Akşam yemek masasında ailenle oturduğunu düşün. Faturalar artmış, maaşlar aynı kalmış, anne baba “bu ay harcamaları biraz kısmamız lazım” diyor. Tatil iptal, dışarıda yemek daha